4 1.3.Газодинамика. Газодинамика является моделью механики сплошной среды, в которой основной силой взаимодействия является давление. Особенность давления заключается в том, что эта сила действует равномерно во всех направлениях. Иными словами, величина давления не зависит от ориентации поверхности (вектора `n). Собственно в газах механизм давления связан с передачей частице среды импульса хаотического движения соседних молекул. Независимость давления от направления следует при этом из предположения о равновероятном распределении скоростей хаотического движения по направлениям. При этом предполагается, что давление является положительным, а сила направлена по нормали к поверхности внутрь частицы. Таким образом, сила, фигурирующая в законах сохранения импульса и энергии имеет вид `F(`n ) = - p ‡`n . Давление в этой формуле обозначено буквой p. Примерно такой же механизм определяет давление в жидкостях, однако, здесь помимо толчков хаотического движения молекул необходимо учитывать и силы притяжения молекул, в результате чего давление в растягиваемой жидкости может быть отрицательным. С этой оговоркой гидродинамику также можно отнести к кругу рассматриваемых нами задач. Более того, уравнениями газодинамики при интенсивных нагрузках можно описывать и поведение твердых тел. Упругие свойства металлов проявляются при нагрузках порядка 0.2 ГПа и ниже. Между тем, при детонации обычных взрывчатых веществ (ВВ) создаются нагрузки в десятки ГПа, еще большие нагрузки возникают при ядерных взрывах. Ясно, что в таких задачах модель газодинамики зачастую обеспечивает адекватное описание процесса. В тех случаях, когда учет упругих свойств необходим, мы будем пользоваться моделью упругопластичности, которую рассмотрим ниже. Помимо давления в задачах газодинамики иногда учитывают вязкость. Механизм вязкости связан обычно с обменом импульсом между частицами, обладающими разными скоростями, в результате диффузии. Тем самым вязкость проявляет себя в основном в разреженных газах, где велик пробег молекул, либо в медленно текущих процессах. В динамических задачах с высокой интенсивностью нагрузок роль вязкости невелика и мы ее рассматривать не будем.^ 1.3.1.Законы сохранения в газодинамике. С учетом специального вида сил взаимодействия законы сохранения в интегральной форме приобретают вид: Приведем запись тех же законов в дифференциальной форме для декартовой системы координат: ^ 1.3.2.Уравнение энергии. Выше мы привели закон сохранения полной энергии в интегральной и дифференциальной форме. Рассмотрим закон изменения внутренней энергии. Напомним, что полная энергия W = Ek + E, где Ek - кинетическая, E - внутренняя энергия. Найдем изменение кинетической энергии. Для этого умножим левые части уравнений импульса соответственно на Vx, Vy, Vz и сложим. В результате получим: Для внутренней энергии в результате будем иметь: Используя уравнение неразрывности, получим окончательно: Для случая, когда отсутствует теплопроводность, это уравнение интересно сравнить с третьим законом термодинамики: Здесь через v обозначен удельный объем v=1/R. С учетом этого уравнение энергии выражает в отсутствии теплопроводности постоянство энтропии: dS=0. Фактически в газодинамических процессах энтропия не всегда остается неизменной, она может расти как за счет теплопроводности, так и за счет вязкости. Значительный рост энтропии происходит в ударных волнах, об этом мы подробно поговорим ниже. ^ 1.3.3.Одномерные и двумерные задачи. Мы уже отмечали, что одномерные и двумерные задачи играют важную роль в механике сплошной среды, особенно, при численном моделировании. Приведем поэтому в замкнутом виде полные системы уравнений для этих случаев. Назовем показателем координатной системы (геометрии задачи) число c = 0, 1, 2 соответственно для плоского, осесимметрического (цилиндрического) и сферического случая. Приведем выражение дивергенции для одномерной задачи. Дивергенция представляет собой дифференциальный оператор, применимый к любому векторному полю, но нас будет интересовать в основном дивергенция скорости. Только в одномерных задачах мы будем использовать для обозначения скорости букву u вместо Vx. Дивергенция в этом случае имеет вид: С учетом этих обозначений полная система уравнений газодинамики в одномерном случае имеет вид: Система уравнений включает в себя, как мы видим, уравнение траектории, уравнение неразрывности, законы изменения импульса и энергии, а также два уравнения, которые относятся к числу замыкающих уравнений. Применительно к газовой динамике их принято называть уравнениями состояния. Уравнения состояния могут иметь различный вид, мы их рассмотрим отдельно. В уравнении энергии опущен член, определяющий поток энергии `q. Об этом мы поговорим позже при рассмотрении модели теплопроводности. Приведенная система относится, таким образом, к обычной газодинамике (без теплопроводности). Интересно отметить, что вид всех уравнений, кроме уравнения неразрывности, не зависит от показателя c системы координат. Для уравнений траектории, энергии и уравнений состояния это понятно, сложнее это объяснить для уравнения импульса. Действительно, из интегральной формы закона сохранения импульса следует, что изменение импульса частицы происходит под действием сил, действующих на поверхность частицы. Переход к дифференциальной форме уравнения обычно сводится к рассмотрению малой частицы, ограниченной поверхностями, на которых одна из координат имеет постоянное значение. В декартовых координатах такая частица имеет форму прямоугольного параллелепипеда, в цилиндрических - фрагмента кольца, в сферических - фрагмента шарового слоя. Тот факт, что ускорение не зависит при этом от формы частицы, не очевиден. Мы не станем приводить выкладок, сопровождающих обычный вывод уравнения импульса в дифференциальной форме, а рассмотрим на качественном уровне простой пример. Вычислим ускорение частицы, имеющей форму усеченного к
1.55 Mb.Название страница4/13Дата конвертации19.10.2012Размер1.55 Mb.Тип источник
1.3.Газодинамика - В. Л. Загускин
Комментариев нет:
Отправить комментарий